Матрица онлайн возведение в степень. Некоторые свойства операций над матрицами.Матричные выражения

Следует заметить, что данной операции поддаются только квадратные матрицы. Равное число строк и столбцов – обязательное условие для возведения матрицы в степень. В ходе вычисления матрица будет помножена сама на себя требуемое количество раз.

Данный онлайн калькулятор предназначен для выполнения операции возведения матрицы в степень. Благодаря его использованию вы не только быстро справитесь с данной задачей, но и получите наглядное и развёрнутое представление о самом ходе вычисления. Это поможет лучше закрепить материал, полученный в теории. Увидев перед собой детальный алгоритм расчётов, вы лучше поймёте все его тонкости и впоследствии сможете не допускать ошибок в ручном вычислении. Кроме того, никогда не будет лишним перепроверить свои расчёты, и это тоже лучше всего осуществлять здесь.

Для того, чтобы возвести матрицу в степень онлайн, понадобится ряд простых действий. Первым делом укажите размер матрицы, нажав на иконки «+» или «-» слева от неё. Затем в поле матрицы введите числа. Также нужно указать степень, в которую возводится матрица. А далее вам остаётся лишь кликнуть на кнопку: «Вычислить» в нижней части поля. Полученный результат будет достоверным и точным, если вы внимательно и правильно ввели все значения. Вместе с ним вам будет предоставлена детальная расшифровка решения.

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Нахождение транспонированной матрицы A T .

Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.

Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.

Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.

Определение алгебраических дополнений.

Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .

Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Алгебраические дополнения. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2·4-5·3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1·5-(-2·2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

Находим определитель данной квадратной матрицы A .

Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .

Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).

Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".

Здесь мы продолжим начатую в первой части тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.

Возведение матрицы в степень.

Пусть k - целое неотрицательное число. Для любой квадратной матрицы $A_{n\times n}$ имеем: $$ A^k=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{k \; раз} $$

При этом полагаем, что $A^0=E$, где $E$ - единичная матрица соответствующего порядка.

Пример №4

Задана матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)$. Найти матрицы $A^2$ и $A^6$.

Согласно определению $A^2=A\cdot A$, т.е. для нахождения $A^2$ нам просто нужно умножить матрицу $A$ саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы , поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right). $$

Чтобы найти матрицу $A^6$ у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать $A^2$ на матрицу $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2\cdot A^2. $$

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа - лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4)+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -7 & -24 \\ 12 & 41 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {cc} -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12\cdot (-4)+41\cdot 7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right). $$

Ответ : $A^2=\left(\begin{array} {cc} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{array} \right)$, $A^6=\left(\begin{array} {cc} -41 & -140 \\ 70 & 239 \end{array} \right)$.

Пример №5

Заданы матрицы $ A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)$, $ B=\left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)$, $ C=\left(\begin{array} {ccc} -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end{array} \right)$. Найти матрицу $D=2AB-3C^T+7E$.

Вычисление матрицы $D$ начнем с нахождения результата произведения $AB$. Матрицы $A$ и $B$ можно перемножать, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. Обозначим $F=AB$. При этом матрица $F$ будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу $F$, вычислив все её элементы:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {ccc} -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end{array} \right)\\ \begin{aligned} & f_{11}=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_{12}=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_{13}=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_{21}=3\cdot (-9)+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_{22}=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_{23}=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_{31}=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_{32}=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_{33}=-1\cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end{aligned} $$

Итак, $F=\left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)$. Пойдём далее. Матрица $C^T$ - транспонированная матрица для матрицы $C$, т.е. $ C^T=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right) $. Что же касаемо матрицы $E$, то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. $E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):

$$ 2\cdot \left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)-3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right)+7\cdot \left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right) $$

Выполним последние действия: вычитание и сложение:

$$ \left(\begin{array} {ccc} -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {ccc} -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right)=\\ =\left(\begin{array} {ccc} -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right). $$

Задача решена, $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.

Ответ : $D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)$.

Пример №6

Пусть $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $ A=\left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right) $. Найти значение $f(A)$.

Если $f(x)=2x^2+3x-9$, то под $f(A)$ понимают матрицу:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу $A$ в выражение для $f(A)$ и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение. Если процесс выполнения операции $A^2=A\cdot A$ для вас неясен, то советую глянуть описание умножения матриц в первой части этой темы.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\\ =2 \left(\begin{array} {cc} 14 & -3 \\ -15 & 5 \end{array} \right)+3 \left(\begin{array} {cc} -3 & 1 \\ 5 & 0 \end{array} \right)-9\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 28 & -6 \\ -30 & 10 \end{array} \right)+\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 15 & 0 \end{array} \right)-\left(\begin{array} {cc} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right). $$

Ответ : $f(A)=\left(\begin{array} {cc} 10 & -3 \\ -15 & 1 \end{array} \right)$.